复数的三角表示计算

这是复数的三角表示计算，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的三角表示计算第 1 篇

　　教学课时：共2课时（第1课时）

　　教学目标：

　　1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

　　2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

　　3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

　　教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

　　教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

　　教学过程：

　　一、情境与问题

　　问题1：

　　设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

　　问题2：

　　记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

　　问题3：

　　小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

　　【学生活动】：

　　1、阅读教材43页尝试与发现．

　　2、回答文章中提出的问题．

　　3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

　　【设计意图】：

　　引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

　　二、新知探究

　　问题1：

　　是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

　　【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

　　【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

　　问题2：

　　复数三角形式的定义是什么？

　　【学生活动】

　　尝试总结复数三角形式的定义．

　　【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

　　复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

　　问题3：

　　辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

　　以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

　　【学生活动】思考并讨论．

　　【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

　　问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

　　【学生活动】学生思考并总结．

　　【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

　　三、例题示范

　　例1（教材44页例1）

　　考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

　　思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

　　例2：（教材48页习题10-3A第一题）

　　把下列复数化为代数形式．

　　

　　考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

　　思路分析：打开括号，直接整理即可．

　　解：

　　

　　解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

　　四、知能训练

　　1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

　　考查意图：复数的辐角

　　

　　2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

　　考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

　　

　　五、归纳总结

　　1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

　　2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

　　3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

　　4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

　　5、作业建议：

　　48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

　　49页习题10-3B第2题

复数的三角表示计算第 2 篇

第一部分内容：内容标准

1.了解复数乘、除运算的三角表示．

2.了解复数乘、除运算的几何意义．

3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算.

... ... ...

复数的三角表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点一　复数三角形式的乘法、除法法则

预习教材，思考问题

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根据复数的乘法运算计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？

知识梳理　设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，

z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2.

知识点二　复数三角形式的乘法、除法几何意义

知识梳理　复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→

①复数乘法的几何意义：

两个复数z1，z2相乘时，如图，把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是______ .这是复数乘法的几何意义．

②复数除法的几何意义：

两个复数z1，z2相除时，如图，把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是商z1z2.这是复数除法的几何意义．

[自主检测]

1．复数z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(

　　)

A．cos (－25°)＋isin (－25°)

B．sin 75°＋icos 75°

C．cos 15°＋isin 15°

D．cos 75°＋isin 75°

2．计算：3(cos π3＋isin π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)＝_________.(用代数形式表示)

3．将复数1＋i对应的向量OM→绕点O按逆时针方向旋转π4，得到的向量为OM1→，那么OM1→对应的复数是________(用代数形式表示)．

... ... ...

复数的三角表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　复数三角形式的乘法运算

[例1]　计算下列各式：

(1)16(cos4π3＋isin4π3)×4(cos5π6＋isin5π6)；

(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)]

[10(cos 80°＋isin 80° )]；

(3)(－1＋i)[3(cos 7π4＋isin 7π4)] .

[分析]　代入复数三角形式的乘法法则计算即可．

方法提升

复数三角形式的乘法运算

(1)直接利用复数三角形式的乘法法则：模数相乘，辐角相加．

(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘．

探究二　复数三角形式的除法运算

[例2]　(1) 计算：

4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)；

(2)已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求1z的三角形式．

方法提升

复数三角形式的除法运算

(1)利用复数三角形式的除法法则：模数相除，辐角相减．

(2)一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数．

... ... ...

复数的三角表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

数形结合思想在复数三角形式的乘除运算中的应用

直观想象、逻辑推理、数学运算

复数的三角形式，就是形的的体现．利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，使问题变得简单、方便．

[典例]　若向量OZ1→与OZ2→分别表示复数z1＝1＋23i，z2＝7＋3i, 则∠Z2OZ1＝________.

[审题视角]　先作出向量OZ1→与OZ2→，根据图形，将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差，再借助复数除法的几何意义转化为z1z2的辐角主值．

[素养提升]　本题是复数与角的大小之间的关系，因此考虑复数三角形式的乘除运算的几何意义，需要画出复数对应的向量，借助图形，将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差．利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，使问题变得简单、方便．

复数的三角表示计算第 3 篇

　　教学课时：共2课时（第1课时）

　　教学目标：

　　1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

　　2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

　　3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

　　教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

　　教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

　　教学过程：

　　一、情境与问题

　　问题1：

　　设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

　　问题2：

　　记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

　　问题3：

　　小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

　　【学生活动】：

　　1、阅读教材43页尝试与发现．

　　2、回答文章中提出的问题．

　　3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

　　【设计意图】：

　　引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

　　二、新知探究

　　问题1：

　　是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

　　【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

　　【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

　　问题2：

　　复数三角形式的定义是什么？

　　【学生活动】

　　尝试总结复数三角形式的定义．

　　【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

　　复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

　　问题3：

　　辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

　　以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

　　【学生活动】思考并讨论．

　　【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

　　问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

　　【学生活动】学生思考并总结．

　　【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

　　三、例题示范

　　例1（教材44页例1）

　　考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

　　思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

　　例2：（教材48页习题10-3A第一题）

　　把下列复数化为代数形式．

　　

　　考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

　　思路分析：打开括号，直接整理即可．

　　解：

　　

　　解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

　　四、知能训练

　　1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

　　考查意图：复数的辐角

　　

　　2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

　　考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

　　

　　五、归纳总结

　　1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

　　2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

　　3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

　　4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

　　5、作业建议：

　　48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

　　49页习题10-3B第2题

复数的三角表示计算第 4 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

1．复数cosπ6－isinπ6的辐角主值为(

　　)

A． － π6

　　

　　

　　 B．π6

C． 5π6 D． 11π6

2．下列复数是复数的三角形式的是(

　　)

A． －3as4alco1(cos(ππ12) B．3as4alco1(cos(ππ12)

C． cosπ3＋isinπ4 D． cos5π6＋isin5π6

3．把复数－33＋3i化为三角形式为(

　　)

A．6as4alco1(cos(ππ6) B．6as4alco1(cos(5π5π6)

C．6as4alco1(cos(7π7π6) D．6as4alco1(cos(11π11π6)

4．设z1＝cosπ4＋isinπ4，z2＝3as4alco1(cos(5π5π12)，则z1·z2＝(

　　)

A． 32＋3)2i B．32－3)2i

C． －32＋3)2i D．－32－3)2i

5．设z1＝4as4alco1(cos(7π7π12)，z2＝cos11π12＋isin11π12，则z1z2＝(

　　)

A． 2＋23i B．－2＋23i

C． －2－23i D．2－23i

课件：

教案：

教材分析

复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.

教学目标与核心素养

课程目标：

1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；

2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.

数学学科素养

1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;

2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;

3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.

教学重难点

重点：复数三角形式的乘除运算．

难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

教学过程

一、情景导入

复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘、除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本86-89页，思考并完成以下问题

1、复数的三角形式乘、除运算如何进行？

2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、复数三角形式的乘法及其几何意义

设的三角形式分别是：

简记为 ：模数相乘，幅角相加

几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

2、复数三角形式的除法及其几何意义

设的三角形式分别是：

简记为 ：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

四、典例分析、举一反三

题型一 复数的三角形式乘法运算

例1已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.

【答案】;详见解析

【解析】

首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（如图）.即为积所对应的向量.

解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）

两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加.

跟踪训练一

1．计算下列各式：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）.

（2）

题型二 复数的三角形式除法运算

例2计算.

【答案】

【解析】原式.

解题技巧： (复数的三角形式除法运算的注意事项)

两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减.

跟踪训练二

1．计算下列各式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

（2）

题型三 复数的三角形式乘、除运算的几何意义

例3如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】 向量对应的复数为

解题技巧（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项）

复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

跟踪训练三

1．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.

【答案】逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：；按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为

【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：

将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本89页练习，89页习题7.3的剩余题.

教学反思

本节课主要复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义三种题型对本节课知识进行讲解，由于本节课知识规律性比较强，所以学生掌握起来比较快捷.但是再理解其几何意义时，旋转方向是学生易忽略的地方，需多强调.