日期:2022-01-21
这是复数的概念教学准备,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
教学课时:共2课时(第1课时)
教学目标:
1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式,知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化,正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念.
2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用,培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养;能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式.
3、体会事物联系的普遍性,形式与内容相统一的辩证唯物主义观点.
教学重点:将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤.
教学难点:将复数的代数形式化为三角形式的意义.
教学过程:
一、情境与问题
问题1:
设复数在复平面内对应的点为Z,你能不能写出点Z的坐标,并在复平面内描出点Z的位置,做出向量?
问题2:
记r为向量的模,是以x轴正半轴为始边,射线OZ为终边的一个角,请求出r的值,并写出的任意一个值.
问题3:
小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系.每个小组把讨论得出的结论写出来.请出几个小组的代表发言.
【学生活动】:
1、阅读教材43页尝试与发现.
2、回答文章中提出的问题.
3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来.
【设计意图】:
引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系.建立引入复数的三角形式的学习情境.
二、新知探究
问题1:
是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系?我们能不能利用r、表示复数?
【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系.
【设计意图】通过学生自己动手推导,得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系,将推广到z=a+bi.
问题2:
复数三角形式的定义是什么?
【学生活动】
尝试总结复数三角形式的定义.
【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义,调动学生学习的积极性,能帮助学生加深对复数三角形式的理解.
复数 z=a+bi (a,b∈R)表示成r(cosθ+ isinθ)的形式叫复数z的三角形式.即z=r(cos θ+ isinθ).其中,θ为复数z的辐角.
问题3:
辐角是唯一的吗?如果不唯一,它们之间有什么关系?
以Ox轴正半轴为始边,向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角.任意非零复数的辐角都有无穷多个,任意两个辐角之间相差2的整数倍.[0,2)内的辐角称为辐角主值,记作arg z.z=0时,其辐角是任意的.
【学生活动】思考并讨论.
【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考,讨论得出正确答案.并培养思维的严谨性.
问题4:复数的三角形式与代数形式怎么互化?
【学生活动】学生思考并总结.
【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化.
三、例题示范
例1(教材44页例1)
考查意图:考查对复数三角形式的理解,数学运算能力,化归思想.
思路分析:求出复数的模,找出复数的一个辐角(比如辐角主值)即可.
解:(1);
(2);
(3).
解法评析:化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角,通常是辐角主值.
例2:(教材48页习题10-3A第一题)
把下列复数化为代数形式.
考查意图:考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解.例1是代数形式化成三角形式,补充一道题,三角形式化成代数形式.
思路分析:打开括号,直接整理即可.
解:
解法评析:复数的三角形式与代数形式的互化中,三角形式化代数形式比较容易.通过互化过程掌握两种形式之间的联系.
四、知能训练
1、教材48页习题10-3A第2题、第6题
考查意图:复数的辐角
2、教材48页习题10-3A第3题、第4题,49页习题10-3B第2题
考查意图:复数的三角形式与代数形式的互化.
五、归纳总结
1、知识内容及研究方法方面:复数的三角形式.
2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面:数形结合;数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析.
3、应注意的问题:复数由代数形式、几何形式、三角形式,学习中应注意三种形式之间的区别与联系.
4、学生活动方式说明:本节学习内容为选学内容,故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习.
5、作业建议:
48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题,
49页习题10-3B第2题
知识点:
一、三角运算:
复数除法
复数乘法
其实,这个结论也不难验证,用代数形式化简就可以的。
但是,这个结论的意义又是不一般的,它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。
而且,由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。
当然,复数的加减运算,按照三角形或平行四边形法则,可是不具备如此好的性质的。
但它和向量一样,也有下面这个不等关系:
视频教学:
练习:
1.复数cosπ6-isinπ6的辐角主值为(
)
A. - π6
B.π6
C. 5π6 D. 11π6
2.下列复数是复数的三角形式的是(
)
A. -3as4alco1(cos(ππ12) B.3as4alco1(cos(ππ12)
C. cosπ3+isinπ4 D. cos5π6+isin5π6
3.把复数-33+3i化为三角形式为(
)
A.6as4alco1(cos(ππ6) B.6as4alco1(cos(5π5π6)
C.6as4alco1(cos(7π7π6) D.6as4alco1(cos(11π11π6)
4.设z1=cosπ4+isinπ4,z2=3as4alco1(cos(5π5π12),则z1·z2=(
)
A. 32+3)2i B.32-3)2i
C. -32+3)2i D.-32-3)2i
5.设z1=4as4alco1(cos(7π7π12),z2=cos11π12+isin11π12,则z1z2=(
)
A. 2+23i B.-2+23i
C. -2-23i D.2-23i
课件:
教案:
教材分析
复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物,其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.
教学目标与核心素养
课程目标:
1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算;
2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.
数学学科素养
1.数学运算:复数的三角形式乘、除运算;
2.直观想象:复数的三角形式乘、除运算的几何意义;
3.数学建模:结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形,数形结合,综合应用,培养学生对数学的学习兴趣.
教学重难点
重点:复数三角形式的乘除运算.
难点:复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.
课前准备
教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练.
教学工具:多媒体.
教学过程
一、情景导入
复数的代数形式有乘除运算,那么复数的三角形式是否可以乘、除运算?如果可以,又以什么规律进行运算?
要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本,引入新课
阅读课本86-89页,思考并完成以下问题
1、复数的三角形式乘、除运算如何进行?
2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是?
要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、复数三角形式的乘法及其几何意义
设的三角形式分别是:
简记为 :模数相乘,幅角相加
几何意义:把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角,长度乘以的模,所得向量对应的复数就是.
2、复数三角形式的除法及其几何意义
设的三角形式分别是:
简记为 :模数相除,幅角相减
几何意义:把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角,长度除以的模,所得向量对应的复数就是.
四、典例分析、举一反三
题型一 复数的三角形式乘法运算
例1已知,,求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释.
【答案】;详见解析
【解析】
首先作与对应的向量,,然后把向量绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的2倍,这样得到一个长度为3,辐角为的向量(如图).即为积所对应的向量.
解题技巧(复数的三角形式乘法运算的注意事项)
两个复数相乘,积还是一个复数,它的模等于各复数的模的积,它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,幅角相加.
跟踪训练一
1.计算下列各式:
(1);
(2);
【答案】(1);(2)
【解析】(1).
(2)
题型二 复数的三角形式除法运算
例2计算.
【答案】
【解析】原式.
解题技巧: (复数的三角形式除法运算的注意事项)
两个复数相除,商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以除数的模,它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则:模数相除,幅角相减.
跟踪训练二
1.计算下列各式:
(1);
(2).
【答案】(1);(2)
【解析】(1)
(2)
题型三 复数的三角形式乘、除运算的几何意义
例3如图,向量对应的复数为,把绕点O按逆时针方向旋转120°,得到.求向量对应的复数(用代数形式表示).
【答案】
【解析】 向量对应的复数为
解题技巧(复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项)
复数乘法几何意义是解题关键.把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角,长度乘以的模,所得向量对应的复数就是.
复数除法几何意义是解题关键.把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角,长度除以的模,所得向量对应的复数就是.
跟踪训练三
1.设对应的向量为,将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°,求所得向量对应的复数(用代数形式表示).
【答案】逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为:;按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为:
将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本89页练习,89页习题7.3的剩余题.
教学反思
本节课主要复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义三种题型对本节课知识进行讲解,由于本节课知识规律性比较强,所以学生掌握起来比较快捷.但是再理解其几何意义时,旋转方向是学生易忽略的地方,需多强调.
第一部分内容:内容标准
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义.
3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
... ... ...
复数的三角表示PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点 复数的三角表示式
预习教材,思考问题
(1)如图,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角θ和r表示x,y?
(2)我们知道,复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应,与平面向量OZ→=(a,b)也是一一对应的,如图,你能用向量OZ→的模r和以x轴的非负半轴为始边,以向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗?
知识梳理 (1)复数的辐角:以x轴的非负半轴为始边,____________为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.我们规定在______范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作arg z ,即______ .
(2)复数的三角形式:一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成______的形式.其中,r是复数的______;θ是复数z=a+bi的辐角.______ 叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,______ 叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件:两个非零复数相等当且仅当它们的______与______分别相等.
[自主检测]
1.复数1+3i化成三角形式,正确的是(
)
A.2(cos 2π3+isin 2π3)
B.2(cos π3+isin π3)
C.2(cos 5π3+isin 5π3)
D.2(cos 11π6+isin 11π6)
2.复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角主值是(
)
A.80°
B.100°
C.190° D.260°
... ... ...
复数的三角表示PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究
探究一 复数的三角形式
[例1] 下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式.
(1) z1= cos 60°+isin 30° ;
(2) z2=2(cos π5-isin π5);
(3) z3=-sin θ+icos θ .
(2)由“加号连”知,不是三角形式.复平面上的点Z2(2cos π5,-2sin π5)在第四象限,不需要改变三角函数名称,可用诱导公式“2π-π5”或“-π5”变换到第四象限.
所以z2=2(cos π5-isin π5)=2[cos(-π5)+isin (-π5)]或z2=2(cos π5-isin π5)=2[(cos(2π-π5)+isin (2π-π5)]=2(cos 9π5+isin9π5),考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一.
(3)由“余弦前”知,不是三角形式.复平面上的点Z3(-sin θ,cos θ)在第二象限(假定θ为锐角),需要改变三角函数名称,可用诱导公式“π2+θ”将θ变换到第二象限.
所以z3= -sin θ+icos θ=cos (π2+θ)+isin (π2+θ) .
方法提升
复数三角形式的判断依据和变形步骤
(1)判断依据:三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.
探究二 复数的代数形式表示成三角形式
[例2] 画出下列复数对应的向量,指出它们的模和辐角的主值,并把这些复数表示成三角形式:
(1)3i;(2)-10;(3)2-2i ;(4) -1+3i.
(2)复数-10对应的向量如图所示,
则模r=10,对应的点在x轴的负半轴上,所以arg(-10)=π.所以-10=10(cos π+isin π).
方法提升
复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模;
(2)决定辐角所在的象限;
(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);
(4)写出复数的三角形式.
探究三 把复数表示成代数形式
[例3] 分别指出下列复数的模和一个辐角,并把这些复数表示成代数形式:
(1)10(cos π3+isinπ3);
(2)14(cos 5π6+isin5π6);
(3)2(cos 45°-isin 45°).
方法提升
1.类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
2.由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
... ... ...
复数的三角表示PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优
复数的三角形式
逻辑推理、数学运算
在求复数的三角形式时,需要进行复杂的三角恒等变换,在变换时一定要根据复数三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连,确定判断的依据和变形的方向.只要角的范围在[0,2π]即可.
[素养提升] 1.在表示复数的三角形式时,要严格套用复数三角形式的四个结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
2.注意复数辐角的主值范围[0,2π).
教学设计
教材分析
复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物,其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.
教学目标与核心素养
课程目标:
1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算;
2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.
数学学科素养
1.数学运算:复数的三角形式乘、除运算;
2.直观想象:复数的三角形式乘、除运算的几何意义;
3.数学建模:结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形,数形结合,综合应用,培养学生对数学的学习兴趣.
教学重难点
重点:复数三角形式的乘除运算.
难点:复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.
课前准备
教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练.
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