幂函数教案板书设计

这是幂函数教案板书设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

幂函数教案板书设计第 1 篇

　　教学目标

　　1、使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

　　2、通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力。通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力。

　　3、通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。

　　教学重点与难点

　　教学重点：函数单调性的概念。

　　教学难点：函数单调性的判定。

　　教学过程设计

　　一、引入新课

　　师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？

　　（用投影幻灯给出两组函数的图象。）

　　第一组：

　　第二组：

　　生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小。

　　师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对。他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别。当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小。虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质。我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质。而这些研究结论是直观地由图象得到的。在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容。

　　（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意。）

　　二、对概念的分析

　　（板书课题：）

　　师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍。

　　（学生朗读。）

　　师：好，请坐。通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

　　生：我认为是一致的。定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少。

　　师：说得非常正确。定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质。这就是数学的魅力！

　　（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣。）

　　师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力。

　　（指图说明。）

　　师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间。

　　（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解。渗透数形结合分析问题的数学思想方法。）

　　师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……

　　（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师。）

　　生：较大的函数值的函数。

　　师：那么减函数呢？

　　生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数。

　　（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整。）

　　师：好。我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

　　（学生思索。）

　　学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环。因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力。

　　（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气。在学生感到无从下手时，给以适当的.提示。）

　　生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语。

　　师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同。增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性。请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

　　生：不能。因为此时函数值是一个数。

　　师：对。函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化。那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

　　生：不能。比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数。因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数。

　　（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知。）

　　师：好。他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”。这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数。因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间。

　　师：还有没有其他的关键词语？

　　生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语。

　　师：你答的很对。能解释一下为什么吗？

　　（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示。）

　　师：“属于”是什么意思？

　　生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取。

　　师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

　　生：可以。

　　师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

　　生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）。

　　师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

　　（让学生思考片刻。）

　　生：可以构造一个反例。考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了。

　　师：那么如何来说明“都有”呢？

　　生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数。

　　师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性。

　　（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解。在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力。）

　　师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小。即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立。这恰是辩证法中一般和特殊的关系。

　　（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力。）

　　三、概念的应用

　　证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数。

　　师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径。

　　（指出用定义证明的必要性。）

　　师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程。

　　（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演。学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发。）

　　师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立。因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系。

　　生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，

　　f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

　　所以f（x）是增函数。

　　师：他的证明思路是清楚的。一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）。但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号。应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）。最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）。

　　这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住。需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小。

　　（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势。在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的。）

　　调函数吗？并用定义证明你的结论。

　　师：你的结论是什么呢？

　　上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。

　　生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义。比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数。

　　生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数。

　　域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数。因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接。另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间。

　　上是减函数。

　　（教师巡视。对学生证明中出现的问题给予点拔。可依据学生的问题，给出下面的提示：

　　（1）分式问题化简方法一般是通分。

　　（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1。

　　要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。

　　对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视。）

　　四、课堂小结

　　师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？

　　（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示。）

　　生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤。

　　课堂教学设计说明

　　是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。

　　另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点。因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用。

　　还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫。

幂函数教案板书设计第 2 篇

材料三：幂函数性质归纳． 观察图象，总结填写下表：

师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析，强调画图象易犯的错误．

环节

教学内容设计

师生双边互动

组 织 探 究

x y =

2x y =

3x y =

2

1x y =

1-=x y

定义域 值域 奇偶性

单调性 定点

师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．

生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

材料四：总结常见幂函数的某些共同性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）1

3

,,-===x y x y x y 是奇函数，2

x y =是

偶函数

（3）在区间（0，+∞）上函数

2

13

2,,,x y x y x y x y ====是增函数，1-=x y 是减

函数。

（4）在第一象限中，函数1

-=x y 的图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近。

-

总结.

材料五：例题

[例1]（教材P 78例题） 证明幂函数x x f =

)(在(0,+∞)上是增函数

（重点分析分子有理化的理由，化简的方向和最后的化简结果形式）

师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．

并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出． 生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．

环节 呈现教学材料

师生互动设计 尝

试 练 习

证明：幂函数2

)(x x f =在(0, +∞)上是增函数；在(-∞,0)上是减函数

学生板演

师：评价反馈情况，并重点强调化简的方法，化简的方向和最终结果的保留形式，

探

究 与 发 现 1．如图所示，曲线是幂

函数α

x y =在第一象限内的图象，已知α分别取

2,2

1

,1,1-四个值，则相应图

象依次为： ．

规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

环节

呈现教学材料

师生互动设计

则有：

且任取证明,),,0(,:2121x x x x <+∞∈)

)(()()(21212

22121x x x x x x x f x f +-=-=-,

0,0,0212121>+<-<≤x x x x x x 所以因为.

),0()()((0)()(22121上是增函数在幂函数）即所以+∞∈=∴<<-x x x f x f x f x f x f ,

0,0,0434343<+<-<>-x x x f x f x f x f x f 则

且同理任取,),0,(,4343x x x x <-∞∈)

)(()()(4343242343x x x x x x x f x f +-=-=-

-

总结.

随堂练习

1． 下列函数是幂函数的是 A.3

)1(-=x

y B.2

)

2

(-=x y C.32-=

x y D.3)2(--=x y

2.函数3

x y =（ ）

A.是奇函数，且在R 上是单调增函数

B.是奇函数，且在R 上是单调减函数

C.是偶函数，且在R 上是单调增函数

D.是偶函数，且在R 上是单调减函数

3.下列命题中正确的是

A.当α=0时，函数α

x y =的图像时一条直线 B.幂函数的图像都经过（0,0）和（1,1）点

C.若幂函数αx y =是奇函数，则α

x y =是定义域上的增函数

D.幂函数的图像不可能出现在第四象限

4．已知幂函数)(x f y =的图象过点）,24(，试求函数f(9)的值

5．求证：函数3

x y =在R 上是奇函数且为增函数

学生尽量在课堂完成

师：根据反馈情况，

有针对性的进行补偿

讲解

课

外 活 动 利用图形计算器探索一般幂函数α

x y =的图象随

α的变化规律．

课下合作探究

收 获 与 体 会 1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？

2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？

师：引导学生独立队本节课的内容进行总

结归纳

作业

1. 课本P79习题

2.3 第2、3题 2. P82复习题A 组第10题

板书设计

2.3 幂函数 例题1： （一）概念

学生板演1 学生板演3 学生板演2

教师板演区

幂函数教案板书设计第 3 篇

　　教学目标：

　　1.使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质;

　　2.在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力;

　　3.通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力.

　　教学重点：

　　常见幂函数的概念、图象和性质;

　　教学难点：

　　幂函数的单调性及其应用.

　　教学方法：

　　采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学.

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　情境：我们以前学过这样的函数：y=x，y=x2，y=x1，试作出它们的图象，并观察其性质.

　　问题：这些函数有什么共同特征?它们是指数函数吗?

　　二、数学建构

　　1.幂函数的定义：一般的我们把形如y=x(R)的.函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数.

　　2.幂函数y=x 图象的分布与 的关系：

　　对任意的 R，y=x在第I象限中必有图象;

　　若y=x为偶函数，则y=x在第II象限中必有图象;

　　若y=x为奇函数，则y=x在第III象限中必有图象;

　　对任意的 R，y=x的图象都不会出现在第VI象限中.

　　3.幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：

　　(1)定点：>0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点;

　　≤0时，图象过只过定点(1，1).

　　(2)单调性：>0时，在区间[0，+)上是单调递增;

　　<0时，在区间(0，+)上是单调递减.

　　三、数学运用

　　例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性

　　(1)y= ; (2)y= ; (3)y= ; (4)y= .

　　例2 比较下列各题中两个值的大小.

　　(1)1.50.5与1.70.5 (2)3.141与π1

　　(3)(-1.25)3与(-1.26)3 (4)3 与2

　　例3 幂函数y=xm;y=xn;y=x1与y=x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m，n与常数-1，0，1的大小关系.

　　练习：(1)下列函数：①y=0.2x;②y=x0.2;

　　③y=x3;④y=3x2.其中是幂函数的有 (写出所有幂函数的序号).

　　(2)函数 的定义域是 .

　　(3)已知函数 ，当a= 时，f(x)为正比例函数;

　　当a= 时，f(x)为反比例函数;当a= 时，f(x)为二次函数;

　　当a= 时，f(x)为幂函数.

　　(4)若a= ，b= ，c= ，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为 .

　　四、要点归纳与方法小结

　　1.幂函数的概念、图象和性质;

　　2.幂值的大小比较方法.

　　五、作业

　　课本P90-2，4，6.

幂函数教案板书设计第 4 篇

　　考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。

　　学生思考，作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。

　　训练学生用函数性质进行解释，强化学生逻辑意识。其中第④小题是利用指数函数性质解决，注意区别。

　　⒁请学生考虑可以如何验证上述答案的正确。

　　学生实践。使用计算器验证，提高学生使用学习工具的意识。

　　⒂简单应用2：幂函数=( -3-3)x 在区间 上是减函数，求的值。

　　学生思考，作答。教师板演。对幂函数定义进一步巩固，对函数性质作初步应用。同时训练学生对初步答案进行筛选。

　　⒃简单应用2：

　　已知(a+1) <(3-2a) ,试求a的`取值范围。

　　学生思考，作答。教师板演。

　　训练学生灵活使用性质解题。

　　数学交流⒄小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？学生思考、小组讨论，教师引导。 让学生回顾，小结，将对学生形成知识系统产生积极影响。

　　数学再现

　　⒅布置作业：

　　课本p.73 2、3、4、思考5思考5作为训练学生应用数学于实际的较好例子，应让能力较好学生得到充分发展。

　　几点说明：

　　⑴本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。

　　⑵画函数图象时，如果学生已能够运用计算器或相关计算机软件作图，可以让学生自己操作，以提高学生探索问题的兴趣和能力，并提高教学效率。

　　⑶由于课程标准对幂函数的研究范围有相对限制，故第11个问题要求较高，建议视具体情况选择教学。

　　⑷本设计相关采用P