指数函数引入的经典例子

这是指数函数引入的经典例子，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

指数函数引入的经典例子第 1 篇

　　教学目标：

　　进一步理解指数函数及其性质，能运用指数函数模型，解决实际问题。

　　教学重点：

　　用指数函数模型解决实际问题。

　　教学难点：

　　指数函数模型的建构。

　　教学过程：

　　一、情境创设

　　1、某工厂今年的年产值为a万元，为了增加产值，今年增加了新产品的研发，预计从明年起，年产值每年递增15%，则明年的产值为（）万元，后年的产值为（）万元、若设x年后实现产值翻两番，则得方程（）。

　　二、数学建构

　　指数函数是常见的数学模型，也是重要的数学模型，常见于工农业生产，环境治理以及投资理财等递增的常见模型为＝（1＋p%）x（p＞0）；递减的常见模型则为＝（1－p%）x（p＞0）。

　　三、数学应用

　　例1、某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式。

　　例2、某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为（微克），与服药后的时间t（小时）之间近似满足如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数＝at的图象。试根据图象，求出函数＝f（t）的解析式。

　　例3、某位公民按定期三年，年利率为2.70%的方式把5000元存入银行、问三年后这位公民所得利息是多少元？

　　例4、某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为元。

　　（1）写出本利和随存期x变化的函数关系式；

　　（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和。

　　（复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息方法）

　　小结：银行存款往往采用单利计算方式，而分期付款、按揭则采用复利计算、这是因为在存款上，为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力，同时也是为了提高储户的长期存款的积极性，往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的过程中，由于每次存入的现金存期不一样，故需要采用复利计算方式、比如“本金为a元，每期还b元，每期利率为r”，第一期还款时本息和应为a（1＋p%），还款后余额为a（1＋p%）－b，第二次还款时本息为（a（1＋p%）－b）（1＋p%），再还款后余额为（a（1＋p%）－b）（1＋p%）－b＝a（1＋p%）2－b（1＋p%）－b，……，第n次还款后余额为a（1＋p%）n－b（1＋p%）n1－b（1＋p%）n2－……－b、这就是复利计算方式。

　　例5、2000～2002年，我国国内生产总值年平均增长7、8%左右、按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）。

　　练习：

　　1、一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个，计划从今年开始的年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年下降p%，试写出此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式。

　　2、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂成（）个。

　　3、我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x，则得方程（）。

　　四、小结：

　　1、指数函数模型的建立；

　　2、单利与复利；

　　3、用图象近似求解。

　　五、作业：

　　课本P71—10，16题。

指数函数引入的经典例子第 2 篇

教学目标：

1．理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；

2．掌握有理数指数幂的运算*质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．

教学重点：

分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．

教学难点：

分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．

教学过程：

一、情景设置

1．复习回顾：说出下列各式的意义，并说出其结果

（1） （2）

（3）（4）

2．情境问题：将25，24推广到一般情况有：

（1）当为偶数时，；（2）当为n的倍数时，．

如果将表示成2s的形式，s的最合适的数值是多少呢？

二、数学建构

1．正数的正分数指数幂的意义：（）

2．正数的负分数指数幂的意义：（）

3．有理数指数幂的运算法则：

， ，

三、数学应用

（一）例题：

1．求值：（1）；（2）；（3）（4）

2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中a＞0）

（1）；（2）；

（3）（4）

小结：有理数指数幂的运算*质．

3．化简：；

4．化简：（1）

（2）．

5．已知求的值．

（二）练习：化简下列各式：

1．；

2．；

3．(a＞0，b＞0)

4．当时，求的值

四、小结：

1．分数指数幂的意义；

2．有理数指数幂的运算*质；

3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；

4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂．

五、作业：

课本p63习题3.1（1）2，4，5．

指数函数引入的经典例子第 3 篇

指数与指数幂的运算 第一课：根式 探究新知（一） 1.问题探究： （1）如果 ，那么 就是4的 ；如果 ，那么3就是27的 。 （2）如果 ，那么 叫做 的 ；如果 ，那么 叫做 的 ； 如果 ，那么 叫做 的 。 （3）类比以上结论，一般地，如果 ，那么 叫做 的 。 2.新知： 次方根的定义： 探究新知（二） 1.问题探究： 计算：1）64的3次方根；-32的.5次方根。 2）4的2次方根；16的4次方根；-81的4次方根。 3）0的 次方根。 2.新知：1 次方根的性质和表示： 2根式的定义： 3.理解新知： 成立的条件是： 探究新知（三） 1.问题探究 （1）根式 表示什么含义？ （2）等式 是否成立？试举例说明。 2.新知：总结常用等式： 新知应用： 例1.必修1课本第50页例1 变式练习：1若将例1（4）中的条件（ ） 改为（ ），结果是 2若将例1（4）中的条件（ ）去掉，结果是 。 例2. 若 . 例3. 计算 课堂小结： 1.知识收获： 2.方法收获： 3.思维收获： 当堂检测： 1. （ ） 2. （ ） 3.116的4次方根是 ；2-128的7次方根是 . 4.求值： ； 5.若 有意义，则 的取值范围是

指数函数引入的经典例子第 4 篇

　　教学目标：

　　1．理解 次方根和 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．

　　2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．

　　3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．

　　教学重点难点：

　　重点是 次方根的概念及其取值规律．

　　难点是 次方根的概念及其运算根据的研究．

　　教学用具：投影仪

　　教学方法：启发探索式．

　　教学过程：

　　一. 复习引入

　　今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．

　　下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?

　　以 为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数， 称为幂．

　　教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义． ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念

　　2．5指数(板书)

　　1. 关于整数指数幂的复习

　　(1) 概念

　　既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：

　　(2) 运算性质： ; ; ．

　　复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．

　　2. 根式(板书)

　　我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．

　　如

　　如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即 ，求?

　　问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根．

　　再如

　　知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．

　　(根据情况教师可再适当举几个例子，如 ，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为 和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)

　　在以上几个式子会解释的基础上，提出 即一个数的 次方等于 ，求这个数，即开 次方，那么这个数叫做 的 次方根．

　　(1) 次方根的定义：如果一个数的 次方等于 ( ，那么这个数叫做 的 次方根．

　　(板书)

　　对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．

　　由学生翻译为：若 ( ，则 叫做 的 次方根．(把它补在定义的后面)

　　翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的 的 次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对 的 次方根的取值规律的研究．

　　(2) 的` 次方根的取值规律： (板书)

　　先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的，所以应对 分奇偶情况讨论

　　当 为奇数时，再问学生 的 次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对 的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按 的正负分为三种情况．

　　Ⅰ当 为奇数时

　　， 的 次方根为一个正数;

　　， 的 次方根为一个负数;

　　， 的 次方根为零． (板书)

　　当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论，再由学生总结归纳

　　Ⅱ当 为偶数时

　　， 的 次方根为两个互为相反数的数;

　　， 的 次方根不存在;

　　， 的 次方根为零．

　　对于这个规律的总结，还可以先看 的正负，再分 的奇偶，换个角度加深理解．

　　有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述 次方根了．

　　(3) 的 次方根的符号表示 (板书)

　　可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当 为奇数时，由于无论 为何值， 次方根都只有一个值，可用统一的符号 表示，此时要求学生解释符号的含义： 为正数，则 为一个确定的正数， 为负数， 则 为一个确定的负数， 为零，则 为零．

　　当 为偶数时， 为正数时，有两个值，而 只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成 ，其含义为 为偶数时，正数的 次方根有两个分别为 和 ．

　　为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题： 一定表示一个正数吗? 中的 一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结 ．对于符号 ，当 为偶数是，它有意义的条件是 ;当 为奇数时，它有意义的条件时 ．

　　把 称为根式，其中 为根指数， 叫做被开方数．(板书)

　　(4) 根式运算的依据 (板书)

　　由于 是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．

　　如 应该得什么?有学生讲出理由，根据 次方根的定义，可得Ⅰ = ．(板书)

　　再问： 应该得什么?也得 吗?

　　若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如 吗? 吗?让学生能发现结果与 有关，从而得到Ⅱ = ．(板书)

　　为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．

　　三．巩固练习

　　例1. 求值

　　(1) ． (2) ．

　　(3) ． (4) ．

　　(5) ．(

　　要求学生口答，并说出简要步骤．

　　四．小结

　　1． 次方根与 次根式的概念

　　2．二者的区别

　　3．运算依据

　　五．作业 略

　　六．板书设计

　　2．5指数 (2)取值规律 (4)运算依据

　　1. 复习

　　2. 根式 (3)符号表示 例1

　　(1)定义