向量的运算的所有公式

这是向量的运算的所有公式，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

向量的运算的所有公式第 1 篇

量的学习，要求学生学会用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题与其他一些实际问题，运用数学思想、方法和知识，发展运算能力和解决实际问题的能力。课标规定为一个课时，下面从以下几个方面谈谈对这节课的反思：

向量概念教学反思

　　第一、引入形象生动，通过故事及动画引入激发学生的学习兴趣，了解学习向两的必要性，同时很好地突出了向量中“数”和“形”两层含义；贴近学生最近发展区。

　　第二、本节课概念较多，在处理教材时，我采用向量的有关概念到两个特殊向量，再到两种特殊关系进行讲解，条理清晰，一目了然。在讲解向量相关概念的时候，针对学生实际，列举简单实例对数量与向量的概念进行区别、辨析。讲解两个特殊向量与两个特殊关系时，通过分析判断，讲解清楚透彻。其中，对定义中的几个关键问题的解读非常到位，如：单位向量、平行向量等，都一一剖析，帮助学生深刻理解定义。师生互动较好，学生能很好地掌握向量的概念。

　　第三、问题设置层层递进，更方便于学生理解和掌握。通过对概念讲解、分析、思考、讨论，很好地引导学生针对问题进行思考、讨论，进一步解决问题，达到鼓励学生的良好效果，点评适宜，能及时落实所学知识。

　　平面向量该章节内容理论性强，抽象，解题方法独特。用学生的.话说：有些解法真有点“横空出世”，很难想到。平面向量虽然有一点难度，但给培养学生抽象思维能力，养成一个良好的分析问题的习惯提供良好的条件。在教学中，充分发挥学生的主体作用，显得犹为重要。否则就会变成老师唱独角戏。

　　第四：根据学生的特点和教学内容，来多角度，多层次的选择练习题。（口答，笔答，判断，选择，解答）为了活跃课堂气氛，还选择了问答接龙，抢答等形式。

　　这节课严谨流畅的同时，我认为还有以下方面有待提高：

　　1、在面向全体学生方面做得还不够，如果有更多的学生参与到教学中来，整个数学课堂将更加精彩

　　2、教学经验不足，调节课堂气氛的能力还要加强练习。

　　3、数学教学不要局限于单纯的知识教学，同时也要进行思想道德教育，教书育人是不分的。

　　教学是一门艺术，我深深感到自己的功力还欠火候，每一个建议对我来说都是一笔财富，我会吸收并利用在以后的课中。我希望在今后的教学中能够通过自己的努力来不断的修炼和完善自己。

向量的运算的所有公式第 2 篇

“空间向量与立体几何”一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，本节是概念教学，概念的展开采用了从平面向量过渡到空间向量的过程，突出了类比思想。进而在了解空间向量概念的基础上，运用空间向量表示直线的方向和平面位置关系的问题，体会向量在研究几何图形中的作用。下面有几点体会：

　　1. 课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移用到了三次不在同一个平面内的位移从而进入课题，可引导学生举出更多的实例，墙壁支架上物体所受的力等。让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，体会数学来源于实际，提高学生学习兴趣及善于观察的能力。

　　2. 讲授基本概念时，注重类比归纳的方法，从平面向量入手，类比得到空间向量的基本概念，无论是从向量的定义、向量的表示、向量的长度，还是特殊向量（单位向量、相等向量等）、向量与直线等都从平面向量类比到空间向量。这里通过微课的播放让学生进行回顾，过于单调，而微课的呈现也起到了一定的作用。

　　3.自主学习的时候学生的积极性不是特别高，因为提前给小组布置了相应的任务，有个别小组没有过多关注其他问题，下次不提前告知任务。

　　4.课堂探究时学生的表现很好，但是对于学生的回答，总结点评不是特别到位。

　　5.空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比、

　　猜想、归纳、推广的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

向量的运算的所有公式第 3 篇

　教学目标：

　　1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

　　2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

　　3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

　　教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

　　教学难点：理解向量加法的定义。

　　学 法：

　　数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

　　教 具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　授课类型：新授课

　　教学思路：

　　一、设置情景：

　　1、复习：向量的定义以及有关概念

　　强调：向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

　　2、情景设置：

　　（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

　　则两次的位移和：

　　（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

　　则两次的位移和：

　　（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

　　则两次的位移和：

　　（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和：

　　二、探索研究：

　　１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

　　２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

　　如图，已知向量a、ｂ。在平面内任取一点 ，作 ＝a， ＝ｂ，则向量 叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ，规定： a + 0—= 0 + a

　　探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

　　（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + |<| |+| |；

　　（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |，当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |—| |；若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| +b|=| |—| |。

　　（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

　　３．例一、已知向量 、 ，求作向量 +

　　作法：在平面内取一点，作 ，则 。

　　４．加法的交换律和平行四边形法则

　　问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？ 验证结果相同

　　从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

　　２）向量加法的交换律： + = +

　　５．向量加法的结合律：（ + ） + = + （ + ）

　　证：如图：使 ， ，

　　则（ + ） + = ， + （ + ） =

　　∴（ + ） + = + （ + ）

　　从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

　　三、应用举例：

　　例二（P94—95）略

　　练习：P95

　　四、小结

　　1、向量加法的几何意义；

　　２、交换律和结合律；

　　３、注意：| + | ≤ | | + | |，当且仅当方向相同时取等号。

　　五、课后作业：

　　P103第２、３题

　　六、板书设计（略）

　　七、备用习题

　　1、一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为 ，求水流的.速度。

　　2、一艘船距对岸 ，以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8，求河水的流速。

　　3、一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 ，船的实际航行的速度的大小为 ，方向与水流间的夹角是 ，求 和 。

　　4、一艘船以5/h的速度在行驶，同时河水的流速为2/h，则船的实际航行速度大小最大是 /h，最小是 /h

　　５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60 ，|F|=10N求F1和F2的大小。

　　６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

向量的运算的所有公式第 4 篇

教学目标

1．使学生经历从物理模型抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；通过类比猜想、作图验证掌握向量加法的相关性质；通过数学建模解决实际问题. 2．在学习过程中，使学生掌握通过类比思想提出猜想，并给予证明的解决问题的方法，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识． 3．在数学建模过程中，经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质

2学情分析

我所授课的对象是普通中学的学生．学生的水平一般，基础知识掌握得不太好，学生的理解能力一般．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。

3重点难点

教学重点：向量加法的定义与向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其几何意义，以及利用法则作两个向量的和向量，体会类比思想在研究问题中的重要作用．

教学难点： 理解向量的加法法则及其几何意义，向量加法运算律的作图证明；数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【导入】创设情景

同学们七年级学习有理数加法时探讨过一个问题，小明从原点出发向东走了2米，再向东走了3米，两次行走后，相对于原点他的最后位置在什么地方？假如小明从原点出发向东走了2米，再沿着东北方向走了3米，这时他两次行走的路程是多少？ 师生活动： 教师提问，学生思考回答。从数的加法引入向量的加法。

活动2【导入】合作探究

问题1：向量的加法如何定义 师生活动：教师展示课件，引导学生将引例中小明的路径抽象成向量，回顾位移合成知识.学生总结向量加法的定义.

问题2：两个向量的和向量方向如何确定？ 师生活动：教师提问，学生归纳总结三角形法则的重点： “首尾相接，起点指向终点”

问题3：对任意的两个向量 ， ，| + |与| |，| |之间具有怎样的大小关系？ 师生活动： 教师提问，学生作图思考，最后师生在合作探究中共同得出结论： （1）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |； （2）当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| |=| |-| | （3）当向量 与 不共线时， <| + |<| |+| | 所以，综合以上结论有： | + | | |+| |

活动3【讲授】探究二：平行四边形法则求向量的加法

~思考：力的合成与向量的加法有着怎样的关系？ 师生活动： 学生阅读教科书探究，类比三角形法则得出平行四边形法则。力的合成也可以看做是向量加法的一个物理模型。向量的物理模型是位移，向量加法的定义是由三角形法则、平行四边形法则这样的作图语言描述出来的，同时，这也恰恰体现了向量加法的几何意义。

活动4【讲授】探究三：向量加法的运算律

1、向量加法的交换律 + = + 思考：三角形法则与平行四边形法，它们求向量和的结果是否一样？ 师生活动： 学生在教师的引导下观察图形，通过动手画图，探究交换律的证明的过程

2、向量加法的结合律 ( + ) + = + ( + ) 思考：类比有理数加法的结合律， 猜想证明向量加法的结合律

活动5【讲授】例题

例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸 点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度； （2）求船实际航行速度的大小与方向.（用与江水速度间的夹角表示）

活动6【导入】总结提炼

(1) 本节课你都有哪些收获？ (2) 给你印象最深的是什么？ (3)课后，你还想进行什么探究

活动7【练习】反馈训练

1.根据图示填空 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 2.化简： （1） （2）

活动8【作业】作业布置

（1）作业：P91 习题2．2的1．2．3． （2）拓展探究：数有减法，向量是否有减法呢？结合本节课的探究方法，请大胆的提出猜想，并结合三角形法则与平行四边形法则进行探究．

2.2.1　向量加法运算及其几何意义

课时设计 课堂实录

2.2.1　向量加法运算及其几何意义

1第一学时 教学活动 活动1【导入】创设情景

同学们七年级学习有理数加法时探讨过一个问题，小明从原点出发向东走了2米，再向东走了3米，两次行走后，相对于原点他的最后位置在什么地方？假如小明从原点出发向东走了2米，再沿着东北方向走了3米，这时他两次行走的路程是多少？ 师生活动： 教师提问，学生思考回答。从数的加法引入向量的加法。

活动2【导入】合作探究

问题1：向量的加法如何定义 师生活动：教师展示课件，引导学生将引例中小明的路径抽象成向量，回顾位移合成知识.学生总结向量加法的定义.

问题2：两个向量的和向量方向如何确定？ 师生活动：教师提问，学生归纳总结三角形法则的重点： “首尾相接，起点指向终点”

问题3：对任意的两个向量 ， ，| + |与| |，| |之间具有怎样的大小关系？ 师生活动： 教师提问，学生作图思考，最后师生在合作探究中共同得出结论： （1）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |； （2）当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| |=| |-| | （3）当向量 与 不共线时， <| + |<| |+| | 所以，综合以上结论有： | + | | |+| |

活动3【讲授】探究二：平行四边形法则求向量的加法

~思考：力的合成与向量的加法有着怎样的关系？ 师生活动： 学生阅读教科书探究，类比三角形法则得出平行四边形法则。力的合成也可以看做是向量加法的一个物理模型。向量的物理模型是位移，向量加法的定义是由三角形法则、平行四边形法则这样的作图语言描述出来的，同时，这也恰恰体现了向量加法的几何意义。

活动4【讲授】探究三：向量加法的运算律

1、向量加法的交换律 + = + 思考：三角形法则与平行四边形法，它们求向量和的结果是否一样？ 师生活动： 学生在教师的引导下观察图形，通过动手画图，探究交换律的证明的过程

2、向量加法的结合律 ( + ) + = + ( + ) 思考：类比有理数加法的结合律， 猜想证明向量加法的结合律

活动5【讲授】例题

例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸 点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度； （2）求船实际航行速度的大小与方向.（用与江水速度间的夹角表示）

活动6【导入】总结提炼

(1) 本节课你都有哪些收获？ (2) 给你印象最深的是什么？ (3)课后，你还想进行什么探究

活动7【练习】反馈训练

1.根据图示填空 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 2.化简： （1） （2）

活动8【作业】作业布置

（1）作业：P91 习题2．2的1．2．3． （2）拓展探究：数有减法，向量是否有减法呢？结合本节课的探究方法，请大胆的提出猜想，并结合三角形法则与平行四边形法则进行探究．